拍频(beat frequency)

当两个不同频率的声音波同时播放时，它们会发生干涉现象，导致振幅随时间的变化，这种变化被称为“拍频”（Beat Frequency）。拍频的产生是由于两个频率相近的声音波叠加后，振幅呈现出周期性的增强和减弱。这一现象可以帮助我们检测和测量声音的频率。

波的叠加与干涉：
当两个频率相近但不完全相同的声音波在同一点相遇时，依据波的叠加原理，它们的振幅会相互影响。这种叠加会导致振幅的变化，而不是完全消除或加强。
数学推导：
假设两个波的频率分别为 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ ，对应的波函数可以表示为：

y_{1} = A \sin (2 π f_{1} t)

y_{2} = A \sin (2 π f_{2} t)

超叠加后的总波形为：

y = y_{1} + y_{2} = A \sin (2 π f_{1} t) + A \sin (2 π f_{2} t)

利用三角函数的和化公式：

\sin α + \sin β = 2 \sin (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2})

可以将总波形表示为：

y = 2 A \cos (2 π \frac{f_{1} - f_{2}}{2} t) \sin (2 π \frac{f_{1} + f_{2}}{2} t)

这里， $\cos (2 π \frac{f_{1} - f_{2}}{2} t)$ 部分决定了振幅随时间的变化，其频率为 $\frac{f_{1} - f_{2}}{2}$ 。而Enhance的频率为两原始频率的平均值 $\frac{f_{1} + f_{2}}{2}$ 。

f_{beat} = \frac{f_{1} - f_{2}}{2}

然而，在实际应用中，我们通常指的拍频实际上为两频率差的绝对值，即：

f_{beat} = | f_{2} - f_{1} |

这是因为当两波频率接近时，每次振幅达到极大值的时间间隔为频率差的倒数，即：

T_{beat} = \frac{1}{f_{2} - f_{1}}

所以，拍频为：

f_{beat} = f_{2} - f_{1}

f_{beat} = | 277 Hz - 262 Hz | = 15 Hz

因此，当这两个音调同时播放时，可以听到15 Hz的拍频。

Beat Frequency等于两个音调频率的绝对差值，这是因为两个不同频率的声音波叠加后，振幅呈现出周期性的变化，其变化频率即为两频率之差。这种现象在声音的调制、音乐的音准校准以及声学测量等领域有着重要的应用。

当两个波的振幅不相等时，和差化积公式仍然可以应用，但需要调整形式以考虑振幅差异。以下是详细的分析：

对于两个振幅相等（均为 $A$ ）的简谐波：

y_{1} = A \sin (ω_{1} t), y_{2} = A \sin (ω_{2} t),

其叠加结果为：

y = y_{1} + y_{2} = 2 A \cos (\frac{ω_{1} - ω_{2}}{2} t) \sin (\frac{ω_{1} + ω_{2}}{2} t) .

这是标准的和差化积公式^[1]。

若两个波的振幅分别为 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ ，则叠加结果为：

y = A_{1} \sin (ω_{1} t) + A_{2} \sin (ω_{2} t) .

此时，可以利用三角函数的线性组合性质，将其表示为：

y = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1} A_{2} \cos (Δ ω t)} \cdot \sin (\frac{ω_{1} + ω_{2}}{2} t + ϕ),

其中 $Δ ω = ω_{1} - ω_{2}$ ，相位 $ϕ$ 取决于振幅比^[2]。

即使振幅不相等，拍频现象仍然存在，但调制深度（即振幅变化的范围）会减小。具体表现为：

最大振幅为 $A_{1} + A_{2}$ ，
最小振幅为 $| A_{1} - A_{2} |$ 。
拍频频率仍为 $f_{beat} = | f_{1} - f_{2} |$ ，但强度可能不如振幅相等时明显^[3]。

通过三角恒等式，可以将不相等振幅的波叠加表示为：

y = A_{1} \sin (ω_{1} t) + A_{2} \sin (ω_{2} t) = R (t) \sin (\frac{ω_{1} + ω_{2}}{2} t + ϕ (t)),

其中 $R (t)$ 为随时间变化的振幅， $ϕ (t)$ 为相位调制。具体表达式较为复杂，但核心思想是通过振幅和相位的调整来适应振幅差异^[4]。

和差化积公式在振幅不相等时仍然适用，但需要通过更复杂的表达式来描述叠加结果。拍频现象的存在不依赖于振幅是否相等，但调制深度会受到影响。