Sound in open tube and close tube

闭管（Closed Pipe）与开管（Open Pipe）的谐波特性分析

闭管仅支持奇次谐波的原因

1. 边界条件：

   • 闭管一端封闭（位移节点，压力波腹），另一端开放（位移波腹，压力节点）。
   • 驻波的波长必须满足：管长 $l=\frac{(2n-1)\lambda }{4}$，其中 $n=1,2,3,\dots$（奇次谐波）^[1][2]。
   • 此时，基频为 $f_1=\frac{v}{4l}$，后续谐波为 $f_n=(2n-1)f_1$（如 $3f_1,5f_1$ 等）^[1:1][2:1]。

2. 偶次谐波的缺失：

   • 若存在偶次谐波（如 $2f_1$），波长需满足 $l=\frac{\lambda }{2}$，但这会导致闭端为波腹而非节点，违反边界条件^[2:2]。

开管支持所有整数次谐波的原因

1. 边界条件：

   • 开管两端均为开放端（位移波腹，压力节点）。
   • 驻波的波长满足：管长 $l=\frac{n\lambda }{2}$，其中 $n=1,2,3,\dots$（所有整数倍）^[3]。
   • 基频为 $f_1=\frac{v}{2l}$，后续谐波为 $f_n=n{f}_1$（如 $2f_1,3f_1$ 等）^[3:1]。

2. 整数倍频率的兼容性：

   • 开管的对称性允许所有整数倍的波长适配管长，无奇偶限制^[3:2]。

图示对比（基于参考文献）：

• 闭管：波长依次为 ${\lambda }_1=4l$, ${\lambda }_3=\frac{4l}{3}$, ${\lambda }_5=\frac{4l}{5}$，对应奇次谐波^[1:2][2:3]。
• 开管：波长依次为 ${\lambda }_1=2l$, ${\lambda }_2=l$, ${\lambda }_3=\frac{2l}{3}$，对应所有整数次谐波^[3:3]。

Footnotes